Ильяс Магомедович Куркаев родился 18 января 1994 года в Бийске.
С 2010 года жил в Барнауле, тренировался в СДЮШОР по волейболу «Заря Алтая». В январе 2012 года был приглашён в ВК «Локомотив» (Новосибирск). В сезоне-2012/13 выступал за фарм-команды железнодорожников в высшей лиге «А» и Молодёжной лиге.
В сентябре 2013 года Ильяс Куркаев в составе молодёжной сборной России выиграл чемпионат мира и был включён организаторами в символическую сборную турнира.
В ноябре 2013 года дебютировал в основной команде ВК «Локомотив».
В июле 2015 года Ильяс Куркаев в составе студенческой сборной России стал победителем всемирной Универсиады, затем был вызван на сбор основного состава сборной России. 8 сентября 2015 года в рамках Кубка мира Ильяс провёл дебютный официальный матч за сборную России, в котором она одержала победу над командой Венесуэлы.
В сентябре 2017 года в составе сборной России Куркаев выиграл золото на чемпионате Европы, в июле 2019 года стал победителем Лиги наций.
В 2021 году выиграл серебряную медаль Олимпийских игр в Токио. На протяжении почти всего турнира Куркаев оставался среди запасных. Он вышел на площадку в критический момент в полуфинальном матче против Бразилии. Сборная России перехватила инициативу и завершила игру в свою пользу. В финальном матче против Франции Ильяс Куркаев вышел в стартовом составе и отыграл весь матч. Сборная России проиграла Франции 2:3.